Question

已知f（x）=2x³+ax²+bx+c在x=-1處取得極值8，又x=2時，f（x） 也取得極值．
（1）求a，b，c的值，寫出f（x）的解析式；（2）求f（x）的單調區間．

Answer 1

解：（1）f′（x）=6x²+2ax+b，由題意可知，x=-1，x=2是方程6x²+2ax+b=0的兩根，
故：x₁+x₂═=1，∴a=-3，-2=，∴b=-12，又，當x=-1時f（x）的極值是8，
∴c=1∴f（x）=2x³-3x²-12x+1 （6分）
（2）∵f′（x）=6x²-6x-12，令f′（x）=0，即6x²-6x-12=0，∴x=2或x=-1，
解得函數的單調區間為：增區間為：（-∞，-1），（2，+∞）
單調減區間為（-1，2）（6分）
分析：（1）先求出導函數，由題意可知，x=-1，x=2是方程6x²+2ax+b=0的兩根，利用根與系數的關系可求出a和b，最后由x=-1時f（x）的極值是8求出c，從而求出函數的解析式；
（2）先求出導函數，令f′（x）=0求出極值點，根據滿足f′（x）＞0的是單調增區間，滿足f′（x）＜0的是單調減區間，即可求出所求．
點評：本題主要考查了函數在某點取極值的條件，同時考查了利用導數研究函數的單調性，屬于中檔題．