Question

已知點(a_n，a_n－1)在曲線f(x)＝上，且a₁＝1．

(1)求f(x)的定義域；

(2)求證：(n∈N*)

(3)求證：數列{a_n}前n項和Sn≤(n≥1，n∈N*)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由f(x)＝知x滿足：x2＋≥0，∴≥0，∴≥0 　　∴≥0，故x＞0，或x≤－1． 　　f(x)定義域為：(－∞，－1]∪(0，＋∞) 　　(2)∵an+12＝an2＋，則an+12－an2＝于是有：＝an+12－a12＝an+12－1 　　要證明： 　　只需證明：(*)下面使用數學歸納法證明：(n≥1，n∈N*)①在n＝1時，a1＝1，＜a1＜2，則n＝1時(*)式成立． 　　②假設n＝k時，成立，由 　　要證明：只需2k＋1≤只需(2k＋1)3≤8k(k＋1)2 　　只需1≤4k2＋2k而4k2＋2k≥1在k≥1時恒成立，于是 　　只需證：，只需證：4k2＋11k＋8＞0，而4k2＋11k＋8＞0在k≥1時恒成立．于是：．因此得證． 　　綜合①②可知(*)式得證，從而原不等式成立． 　　(3)要證明：，郝制作 　　由(2)可知只需證：(n≥2)(**) 　　下面用分析法證明：(**)式成立．要使(**)成立， 　　只需證：(3n－2)＞(3n－1) 　　即只需證：(3n－2)3n＞(3n－1)3(n－1)，只需證：2n＞1．而2n＞1在n≥1時顯然成立，故(**)式得證．于是由(**)式可知有：＋＋…＋≤ 　　因此有：Sn＝a1＋a2＋…＋an≤1＋2(＋＋…＋)＝