Question

設函數f（x）=e^x，其中e為自然對數的底數．
（Ⅰ）求函數g（x）=f（x）-ex的單調區間；
（Ⅱ）記曲線y=f（x）在點P（x₀，f（x₀））（其中x₀＜0）處的切線為l，l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S，求S的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數的解析式，求出g'（x）=e^x-e，利用導數求函數的單調區間，令導數大于0，解出增區間，令導數小于0，求出減區間．
（Ⅱ）由導數求出點P（x₀，f（x₀））（其中x₀＜0）處的切線為l的方程，求出直線與x軸、y軸的交點坐標，將面積S表示出的函數，再利用導數研究它的最值

解答：解：（Ⅰ）由已知g（x）=e^x-ex，
所以g'（x）=e^x-e，…（1分）
由g'（x）=e^x-e=0，得x=1，
所以，在區間（-∞，1）上，g'（x）＜0，
函數g（x）在區間（-∞，1）上單調遞減；
在區間（1，+∞）上，g'（x）＞0，
函數g（x）在區間（1，+∞）上單調遞增；                      …（4分）
即函數g（x）的單調遞減區間為（-∞，1），單調遞增區間為（1，+∞）．
（Ⅱ）因為f'（x）=e^x，
所以曲線y=f（x）在點P處切線為l：y-ex0=ex0(x-x0)．…（6分）
切線l與x軸的交點為（x₀-1，0），與y軸的交點為(0，ex0-x0ex0)，…（8分）
因為x₀＜0，所以S=

1

2

(1-x0)(1-x0)ex0=

1

2

(1-2x0+

x

2 0

)ex0，
∵S′=

1

2

ex0(

x

2 0

-1)，
∴在區間（-∞，-1）上，函數S（x₀）單調遞增，在區間（-1，0）上，函數S（x₀）單調遞減．…（10分）
所以，當x₀=-1時，S有最大值，此時S=

2

e

，
所以，S的最大值為

2

e

．…（12分）

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，解答本題關鍵是理解導數與函數單調性的關系，此類題主要有兩種類型，一是用導數研究單調性，一是由單調性得函數導數的符號，由此建立不等式求參數，本題的第一問屬于此類，解答第二問時要注意數形結合