Question

【題目】設，函數.

（1）若，求證：函數為奇函數；

（2）若，判斷并證明函數的單調性；

（3）若，函數在區間上的取值范圍是，求的范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）函數為上的單調遞增，證明見解析；（3）當時，；當時，．

【解析】

（1）當時，函數，根據函數奇偶性得，進而得出結論．

（2）當時，函數的定義域為，通過單調性的定義法的五步①設元②作差③變形④定號⑤下結論．

（3）因為，，所以，分，兩種情況討論函數在區間上的取值范圍是，進而得出結論．

解：（1）當時，函數，

因為，所以，即定義域為

從而對任意的，，

所以為奇函數．

（2）當時，因為，所以，

所以函數的定義域為．

結論：函數為上的單調遞增函數．

證明：設對任意的，，且，

則

，

因為，所以，即，

又因為，，，

所以，

于是，即函數為上的單調遞增．

（3）因為，所以，從而，

由，知，所以，

因為，所以或．

當時，由（2）知，函數為上單調遞增函數．

因為函數在區間上的取值范圍是

所以，即，

從而關于的方程 有兩個互異實數根．

令，則，所以方程，有兩個互異實數根

，從而．

當時，函數在區間，上均單調遞減．

若，則，于是，這與矛盾，故舍去．

若，則，于是，即，

所以，兩式相減整理得，，

又，故，從而，因為，所以．

綜上可得，當時，

當時，．