Question

【題目】如圖所示，是正方形所在平面外一點，在面上的投影為，，，，有以下四個命題：

（1）面；

（2）為中點，且；

（3）以，作為鄰邊的平行四邊形面積是32；

（4）的內切球半徑為.

其中正確命題的個數為（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

(1)先證,再根據直線與平面垂直的判定定理可證結論正確;

(2)通過證明,可得垂直平分,同理可得點在線段的垂直平分線上,從而可得為正方形的中心,在中可求得,可知(2)正確;

(3)利用平行四邊形的面積公式求得面積為16,所以(3)錯誤;

(4)利用可求得內切球的半徑為,所以(4)錯誤.

解：(1)如圖，連接，

∵在平面上的投影為，∴面，

又∵面，∴，

∵為正方形，∴，

∵，∴.

又∵，，∴面，

所以（1）正確;

(2)連接、,

∵，，∴為正三角形，∴,

∵面，面，面，

∴，，即，

又∵，

∴，∴，

∴點在線段的垂直平分線上，

∵，，

∴，∴垂直平分.

同理可證點在線段的垂直平分線上，

∴為正方形的中心，

∵，∴，

又∵，，

∴中，，

∴，

所以(2)正確.;

(3)由(2)知，

以、作為鄰邊的平行四邊形的面積為，

所以，(3)錯誤.

(4)∵為正方形，在底面的投影為正方形的中心，

∴為正四棱錐,

設正四棱錐內切球球心為，半徑為，如圖所示:

則：

，

又∵.

，

，

∴，

∴.

所以(4)正確.

故選:C