【題目】已知橢圓的離心率為
,短軸長為
,右焦點為
(1) 求橢圓
的標準方程;(2) 若直線
經過點
且與橢圓
有且僅有一個公共點
,過點
作直線
交橢圓于另一點
①證明:當直線
與直線
的斜率
,
均存在時,
.
為定值;②求
面積的最小值。
【答案】(1)(2) ①見解析②
【解析】
(1)根據條件列關于a,b,c的方程組解得a,b,即得結果,(2) ①先設直線方程:
,再根據直線與橢圓相切得
關系,并解得P點坐標,最后根據斜率公式計算
.
為定值,②先確定三角形為直角三角形,再利用弦長公式計算PQ,根據面積公式得函數關系式,最后根據函數單調性確定最小值.
解:(1)由題意得,
所以橢圓方程為
(2)①證明:由題意知直線的斜率存在,設直線
的方程為
,
因為點在直線上,則
,
聯立直線與橢圓可得
因為直線與橢圓只有一個交點,所以,即
,
由韋達定理得,
又因為過右焦點
,則
而,所以
.
②因為F(2,0),所以,
,所以
,即
,
所以三角形的面積,
,
因為,所以
方程為
,設
與橢圓方程聯立得
,
則,
,
,
所以
令,則
,令
,因此當
時,
面積取最小值
.
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【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,△ABC是邊長為2的正三角形,∠PCA=90°,E,H分別為AP,AC的中點,AP=4,BE= .
(Ⅰ)求證:AC⊥平面BEH;
(Ⅱ)求直線PA與平面ABC所成角的正弦值.
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【題目】如圖,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面邊長為2,側棱長為4,E,F分別是棱AB,BC的中點,EF∩BD=G.求證:平面B1EF⊥平面BDD1B1.
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【題目】已知A、B、C、D是函數y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)一個周期內的圖象上的四個點,如圖所示,A(﹣
, 0),B為y軸的點,C為圖象上的最低點,E為該函數圖象的一個對稱中心,B與D關于點E對稱,
在x軸方向上的投影為
.
(1)求函數f(x)的解析式及單調遞減區間;
(2)將函數f(x)的圖象向左平移得到函數g(x)的圖象,已知g(α)=
, α∈(﹣
, 0),求g(α+
)的值.
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【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,PA=PB=AB=BC=2,∠CBA=∠PBC=60°,Q為線段BC的中點.
(1)求證:PA⊥BC;
(2)求點Q到平面PAC的距離.
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【題目】如圖,邊長為的正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直,其中AB∥CD,AB⊥BC,DC=BC=
AB=1,點M在線段EC上.
(Ⅰ)證明:平面BDM⊥平面ADEF;
(Ⅱ)判斷點M的位置,使得三棱錐B﹣CDM的體積為 .
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【題目】用6種顏色給右圖四面體A﹣BCD的每條棱染色,要求每條棱只染一種顏色且共頂點的棱染不同的顏色,則不同的染色方法共有( )種.
A.4080
B.3360
C.1920
D.720
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