Question

（09年海淀區二模理）（14分）

如圖，斜三棱柱的底面是直角三角形，，點在底面上的射影恰好是的中點，且．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）求二面角的大小.

Answer 1

解析：（Ⅰ）證明：設的中點為.

在斜三棱柱中，點在底面上的射影恰好是的中點,

     平面ABC.         ……………………1分

平面，

.               ……………………2分

，

∴.

，

∴平面.       ……………………4分

平面，

    平面平面.        …………………………5分

解法一：（Ⅱ）連接，平面，

是直線在平面上的射影.      …………………………5分

，

平行四邊形是菱形.

.                   ………………………………………7分

.                    ……………………………………9分

（Ⅲ）過點作交于點，連接.

，

平面.

.

是二面角的平面角.              …………………11分

設，則，

.

.

.

.

平面，平面，

.

.

在中，可求.

∵，∴.

∴.

.     ……………………………………13分

.

∴二面角的大小為.       …………………………14分

解法二：（Ⅱ）因為點在底面上的射影是的中點，設的中點為，則垂直平面ABC.以為原點，過平行于的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

設，由題意可知，.

設，由，得……………………………7分

.

  又.

.

.                         ………………………………………9分

（Ⅲ）設平面的法向量為.

則

∴

.

設平面的法向量為.則

∴

.             ……………………………………12分

.          …………………………………13分

二面角的大小為.           ………………………………………14分