Question

【題目】已知平行四邊形中，，平面平面，三角形為等邊三角形，．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若平面

①求異面直線與所成角的余弦值；

②求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）①；②.

【解析】

（Ⅰ）先證明，以為原點，為軸建立空間直角坐標系，利用向量的數量積為零可得，，從而平面，再由面面垂直的判定定理可得結果；（Ⅱ）設，利用，求得，①求出，的坐標，利用空間向量夾角余弦公式可得結果；②利用向量垂直數量積為零列方程，分別求出平面的法向量與平面的法向量，由空間向量夾角余弦公式求得二面角的余弦值，進而可得結果.

（Ⅰ）

平行四邊形中

∵，，

由余弦定理可得，

由勾股定理可得，

如圖，以為原點建立空間直角坐標系

∴，，，，

∴，，

∴，，∴，．

又，∴平面．

又∵平面，∴平面平面．

（Ⅱ）∵，∴設

∴，．

∵平面，∴，∴，∴．

∴．

①，

∴

∴異面直線與所成角的余弦值為．

②設為平面的法向量，則

可得，

設為平面的法向量，則

可得，

∴，

∴二面角的正弦值為．