Question

【題目】某疾病有甲、乙兩種類型，對甲型患者的有效治療只能通過注射藥物Y，而乙型患者可以服藥物A進行有效治療，對該疾病患者可以通過藥物A的臨床檢驗確定甲型或乙型.檢驗的方法是：如果患者利用藥物A完成第一個療程有效，就可以確定是乙型；否則進行第二個療程，如果完成第二個療程有效，也可以確定是乙型，否則確定是甲型.為了掌握這種疾病患者中甲型、乙型所占比例，隨機抽取100名患者作為樣本通過藥物A進行臨床檢驗，檢驗結果是：樣本中完成第二個療程有效的患者是完成第一個療程有效的患者的60%，且最終確定為甲型患者的有36人.

（1）根據檢驗結果，將頻率視作概率，在利用藥物A完成第一個療程無效的患者中仼選3人，求其中甲型患者恰為2人的概率；

（2）該疾病的患者通過治療，使血漿中某物質t的濃度降低到或更低時，就認為已經達到治愈指標.為了確定藥物Y對甲型患者的療效，需了解療程次數x（單位：次）對患者血漿中t的濃度（單位：）的影響.在甲型患者中抽取一個有代表性的樣本，利用藥物Y進行5個療程，每個療程完成后對每個個體抽取相同容量的血漿進行分析，并對療程數和每個療程后樣本血漿中t的平均濃度的數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值.

3	11.0	0.46	262.5	30.1	55	1.458

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上表中，.

①根據散點圖直接判斷（不必說明理由），與哪一個適宜作為甲型患者血漿中t的平均濃度y關于療程次數x的回歸方程類型？并根據表中數據建立y關于x的回歸方程.

②患者在享受基本醫療保險及政府專項補助后，自己需承擔的費用z（單位：元）與x，y的關系為.在達到治愈指標的前提下，甲型患者完成多少個療程自己承擔的費用最低？

對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.

Answer 1

【答案】（1）（2）①適宜；②8個或9個

【解析】

（1）首先求出完成第一個療程有效的患者人數，用頻率視作概率，可知完成第一個療程無效的患者是甲型患者的概率為，再根據二項分布的概率公式計算可得；

（2）①根據散點圖可以判斷，適宜作為甲型患者血漿中t的平均含量關于療程次數的回歸方程類型.，令，先建立y關于w的線性回歸方程，根據所給數據求出回歸方程，最后換元即可得到關于的回歸方程；

②依題意可得，且，解得，則，最后根據對勾函數的性質計算可得；

解：（1）設樣本中完成第一個療程有效的患者人數為n，則，解得，則完成第一個療程無效的患者人數為60人.

將頻率視作概率，則利用藥物A完成第一個療程無效的患者是甲型患者的概率為.

在利用藥物A完成第一個療程無效的患者中任選3人，設其中是甲型患者的人數為，

則，.

所以.

所以所求的概率為

（2）①根據散點圖可以判斷，適宜作為甲型患者血漿中t的平均含量關于療程次數的回歸方程類型.

令，先建立y關于w的線性回歸方程.

由，

.

所以y關于w的線性回歸方程為，

因此y關于x的回歸方程為.

②當達到治愈指標時，由，且，解得

注射藥物Y治療x個療程時，患者自己需承擔費用為：

.

令，易知在單調遞減，在單調遞增.

因為，且，

所以甲型患者完成8個或9個療程時，能夠達到治愈指標且自己承擔的費用最低；