Question

已知函數f（x）=e^x+alnx的定義域為D，關于函數f（x）給出下列命題：
①對于任意函數a∈（0，+∞），函數f（x）是D上的減函數；
②對于任意函數a∈（-∞，0），函數f（x）存在最小值；
③存在a∈（0，+∞），使得對于任意的x∈D，都有f（x）＞0．
其中正確命題的序號是（　　）

A．②

B．①②

C．③

D．①③

Answer 1

分析：求出函數的導函數，分析當a∈（0，+∞）時，導函數的符號，進而可得函數的單調性；分析當a∈（-∞，0）時，函數的單調性，進而求出函數的最值，進而可判斷②；分析函數的零點及單調性，可判斷③．

解答：解：∵f′（x）=ex+

a

x

，定義域為D（0，+∞）．
當a∈（0，+∞）時，f′（x）＞0恒成立，故f（x）是D上的增函數，故①錯誤；
當a∈（-∞，0）時，存在x₀∈D，使f′（x）=0，
則f（x）在（0，x₀）上是減函數，在（x₀，+∞）上是增函數，
則f（x₀）為函數的最小值，故②正確；
當a∈（0，+∞）時，函數存在零點x₀，由①得f（x）是D上的增函數，
則當x∈（0，x₀）時，f（x）＜0．故③錯誤；
故選：A

點評：本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了利用導函數求函數的單調性，最值，零點，難度中檔．