Question

(本小題滿分16分)如圖,是橢圓的左、右頂點,橢圓的離心率為,右準線的方程為.

(1)求橢圓方程；

(2)設是橢圓上異于的一點,直線交于點,以為直徑的圓記為.

①若恰好是橢圓的上頂點,求截直線所得的弦長;

②設與直線交于點,試證明:直線與軸的交點為定點,并求該定點的坐標.

 

Answer 1

【答案】

(1) (2) ①②見解析

【解析】

試題分析：(1)由,解得,故所求橢圓的方程為…………………4分

   (2)①因為,所以直線的方程為,則點P的坐標為,

   從而的方程為,即其圓心為,半徑為………… 6分

   又直線的方程為,故圓心到直線的距離為 ………8分

   從而截直線所得的弦長為……………10分

   ②證:設,則直線的方程為,則點P的坐標為,

   又直線的斜率為,而,所以,

   從而直線的方程為……………………………13分

   令,得點R的橫坐標為………………………14分

   又點M在橢圓上,所以,即,故,

   所以直線與軸的交點為定點,且該定點的坐標為……………………16分

考點：橢圓性質，直線與圓橢圓的位置關系

點評：本題計算量大，對學生的數據處理能力要求較高