Question

【題目】已知橢圓過點，且左焦點與拋物線的焦點重合。

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線與橢圓交于不同的兩點、，線段的中點記為，且線段的垂直平分線過定點，求的取值范圍。

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）由左焦點與拋物線的焦點重合，可以求得c,再利用橢圓過點求得、，從而求出橢圓方程。

（2）由直線與橢圓交于不同的兩點，可以由 得到k與m的不等關系，再由AG直線與直線垂直，斜率乘積為-1，得到k與m的等量關系，將等量關系代入不等關系來限定k的取值范圍。

（1）〖解法1〗拋物線的焦點為F（-1,0），

依題意知，橢圓的左右焦點坐標分別為，

又橢圓過點，∴由橢圓的定義知，，

∴，又，∴

∴橢圓的方程為．

（1）〖解法2〗拋物線的焦點為F（-1,0），

依題意知，橢圓的左右焦點坐標分別為，

又橢圓過點，∴

解得，

∴橢圓的方程為．

（1）〖解法3〗拋物線的焦點為F（-1,0），

依題意知，橢圓的左右焦點坐標分別為，

又橢圓過點，∴

∴，∵

∴可解得，

∴橢圓的方程為．

（2）〖解法1〗由消去整理得

，

直線與橢圓交于不同的兩點，

，整理得……①

設，線段的中點A，

則，

∴∴，

∴點A的坐標為，

∴直線AG的斜率為，

又直線AG和直線MN垂直，

∴，∴，

將上式代入①式，可得，

整理得，解得．

∴實數的取值范圍為．

（2）〖解法2〗設

則 兩式相減得

即

點滿足方程 ①.

又直線且過點

點也滿足方程 ②

聯立①②解得，即

點在橢圓內部

的取值范圍為