Question

已知函數f（x）=ln（e^x+a）（a為常數）是實數集R上的奇函數，函數g（x）=λf（x）+sinx（λ≤-1）是區間[-1，1]上的減函數，（1）求a的值．（2）若g（x）≤t²-λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接利用奇函數的定義f（-x）=-f（x）恒成立代入整理后即可求a的值；
（2）先利用函數g（x）在[-1，1]上單調遞減，求出其最大值，再把g（x）≤t²-λt+1在x∈[-1，1]上恒成立轉化為其最大值小于等于t²-λt+1恒成立，進而得到（1-t）λ+t²+sin1+1≥0（其中λ≤-1）恒成立，再利用二次函數恒成立問題的解法即可求t出的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=ln（e^x+a）是奇函數，
則ln（e^x+a）=-ln（e^x+a）恒成立（2分）
∴（e^x+a）ln（e^x+a）=1
1+ae^-x+ae^x+a²=1∴a（e^x+e^-x+a）=0∴a=0（4分）
（2）又∵g（x）在[-1，1]上單調遞減，
∴g（x）_max=g（-1）=-λ-sin1（6分）
∴只需-λ-sin1≤t²-λt+1，（8分）
∴（1-t）λ+t²+sin1+1≥0（其中λ≤-1恒成立．
令h（λ）=（1-t）λ+t²+sin1+1（λ≤-1）
則

1-t≤0 t-1+t2+sin1+1≥0

（11分）
∴

t≥1 t2+t+sin1≥0

而t²+t+sin1≥0恒成立
∴t≥1（13分）

點評：本題主要考查函數單調性和奇偶性以及函數恒成立問題．二次函數的恒成立問題分兩類，一是大于0恒成立須滿足開口向上，且判別式小于0，二是小于0恒成立須滿足開口向下，且判別式小于0．