Question

一次數學考試中有A，B，C三道填空題為選做題，規定每個考生必須也只需選做其中的兩道題，已知甲、乙兩名考生都隨機地選做了其中的兩道題．
（I）求考生甲選做了A題的概率； 
（II）求這三名學生中選做A題的人數ξ的分布列及期望Eξ．

Answer 1

【答案】分析：（I）“考生甲選作了A題”事件包含：選作AB、AC兩種情況，根據古典概型的概率計算公式即可求得；
（II）先求出A題被一生選中的概率及不被選中的概率，則三名學生選題相當于做了三次獨立重復試驗，由獨立重復試驗的概率計算公式可得ξ=0，1，2，3時的概率，進而得其分布列、期望；
解答：解：（Ⅰ）“考生甲選作了A題”事件包含：選作AB、AC兩種情況，
所以考生甲選做A題的概率為：=；
（Ⅱ）顯然ξ=0，1，2，3，由于A題不被甲選中的概率為，被甲選中的概率為，
所以P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，
ξ的分布列如下所示：

所以Eξ=0×+=2．
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列、期望，獨立重復試驗，考查學生對問題的分析理解能力，屬中檔題．