Question

（2010•中山一模）已知A、B、C是直線l上的不同的三點，O是直線外一點，向量

OA

、

OB

、

OC

滿足

OA

-(

3

2

x2+1)•

OB

-[ln(2+3x)-y]•

OC

=

0

，記y=f（x）．
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）若x∈[

1

6

，

1

3

]，a＞ln

1

3

，證明：不等式|a-lnx|＞ln[f′（x）-3x]成立；
（3）若關于x的方程f（x）=2x+b在[0，1]上恰有兩個不同的實根，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據

OA

-(

3

2

x2+1)•

OB

-[ln(2+3x)-y]•

OC

=

0

表示出向量

OA

，再由A，B，C三點共線可得到關系式

3

2

x2+1+ln(2+3x)-y=1，整理即可得到答案．
（2）由x∈[

1

6

，

1

3

]，a＞ln

1

3

，可知a＞lnx，由（1）得f/(x)-3x=

3

2+3x

＞0，所以要證原不等式成立，只須證：a＞lnx+ln

3

2+3x

，構造函數，利用函數在x∈[

1

6

，

1

3

]上均單調遞增，則求出函數的最大值即可證得．
（3）將函數f（x）的解析式代入f（x）=2x+b中，整理可得

3

2

x2-2x+ln(2+3x)=b，然后令 ?(x)=

3

2

x2-2x+ln(2+3x)，根據導數判斷其單調性并求出其單調區間，即可求得函數φ（x）的最小值，再根據在[0，1]上恰有兩個不同的實根結合函數的性質求出答案．

解答：解：（1）由題意，

OA

=(

3

2

x2+1)•

OB

+[ln(2+3x)-y]•

OC

∵A、B、C三點共線，
∴

3

2

x2+1+ln(2+3x)-y=1
∴y=

3

2

x2+ln(2+3x)
（2）∵x∈[

1

6

，

1

3

]，a＞ln

1

3

，則a＞lnx
又由（1）得，f/(x)=

3

2+3x

+3x，x∈[

1

6

，

1

3

]，則f/(x)-3x=

3

2+3x

＞0
∴要證原不等式成立，只須證：a＞lnx+ln

3

2+3x

（*）
設h(x)=lnx+ln

3

2+3x

=ln

3x

2+3x

．
∵h/(x)=

2+3x

3x

•

3(2+3x)-3x•3

(2+3x)2

=

2

x(2+3x)

＞0
∴h（x）在x∈[

1

6

，

1

3

]上均單調遞增，則h（x）有最大值h(

1

3

)=ln

1

3

，
又因為a＞ln

1

3

，所以a＞h（x）在x∈[

1

6

，

1

3

]恒成立．
∴不等式（*）成立，即原不等式成立．
（3）方程f（x）=2x+b即

3

2

x2-2x+ln(2+3x)=b，令?(x)=

3

2

x2-2x+ln(2+3x)，
∴?/(x)=

3

2+3x

+3x-2=

9x2-1

2+3x

=

(3x+1)(3x-1)

2+3x

當x∈(0，

1

3

)時，?′（x）＜0，?（x）單調遞減，
當x∈(

1

3

，1)時，?′（x）＞0，?（x）單調遞增，
∴?（x）有極小值為?(

1

3

)=ln3-

1

2

即在[0，1]上的最小值．
又?（0）=ln2，?(1)=ln5-

1

2

，又ln5-

1

2

-ln2=ln

5

2 e

=

1

2

ln

25

4e

＞

1

2

ln

25

4×3

＞0
∴ln5-

1

2

＞ln2．
∴要使原方程在[0，1]上恰有兩個不同實根，必須使ln3-

1

2

＜b≤ln2．

點評：本題以向量為依托，考查向量在幾何中的應用以及利用導函數研究原函數的單調性，解題的關鍵是利用 A、B、C共線時，

OA

=λ

OB

+（1-λ）

OC

，建立等式，同時證明不等式時利用了分離參數法，也是我們應該掌握的方法．