Question

【題目】已知函數為常數）.曲線在點處的切線與軸平行.

(Ⅰ) 求的值；

(Ⅱ) 求函數的單調區間；

(Ⅲ) 設,其中為的導函數.

證明：對任意，.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；

(Ⅱ) 的單調遞增區間為，單調遞減區間為；

(Ⅲ)見解析.

【解析】

(Ⅰ)由題意，求出函數的導函數，再由曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與x軸平行可得出f′（1）=0，由此方程即可解出k的值；

(Ⅱ)利用導數解出函數的單調區間即可.

(Ⅲ)等價于 設，且的最大值為.則. 設且，從而有則 .

因此，對任意，.

(Ⅰ) 解:由可得.

而，即，解得.

(Ⅱ) 解:由(Ⅰ)知，

設，則.即在上是減函數.

由知，當時，，從而；

當時，，從而.

綜上可知，的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

(Ⅲ) 證明:因為，所以，.

對任意，等價于.

設，，

則，.

當時，，故有單調遞增.

當時，，故有單調遞減.

所以，的最大值為.則.

設

因為，所以當時，，單調遞增.

則.即，從而有.

則 .

因此，對任意，.