Question

已知函數f(x)=x³-3tx+m(x∈R，m和t為實數)是奇函數．

(Ⅰ)求實數m的值和函數f(x)的圖像與橫軸的交點坐標；

(Ⅱ)設g(x)=|f(x)|且x∈[-1，1]，求g(x)的最大值F(t)．

Answer 1

解：(1)依題意，m=0，

∴f(x)=x³-3tx．  令x³-3tx=0，

(1)當t=0時,x=0．

∴函數f(x)的圖像與橫軸的交點坐標為(0，0)．

(2)當t＞0時,x(x-3t)=0． ∴x=0，或x²=3t，

∴x=0，或x=,或x=，

∴函數f(x)的圖像與橫軸的交點坐標為(0，0)，或(t，0)，或(，0)．

(3)當t＜0時，x(x-3t)=0． ∴x=0，或x²=3t(舍去)．

∴函數f(x)的圖像與橫軸的交點坐標為(0，0)．

(Ⅱ)g(x)=|f(x)|=|x³-3tx|,x∈[-1，1]；

(1)當t=0時，g(x)=|x³|，x∈[-1，1]；

F(t)=g(1)=g(-1)=1．

(2)當t＜0時，F(t)=|f(l)=|1-3t|=1-3t．

(3)當t≥1時，F （t）=|f(1)=|1-3t|=3t-1．

(4)當0＜t＜1時，

x	0	(0,)		(,1)	1
f′(x)		-	0	+
f(x)	0		極小值-2t		1-3t

由g(x)的性質可知，

當≤t＜1時，g(x)的最大值F(t)=-f()=2t．

當0＜t＜時，g(x)的最大值F(t)=f(1)=1-3t．

綜上所述:F(t)=