Question

設函數f（x）=－ax，其中a>0.

（1）解不等式f（x）≤1；

（2）求證：當a≥1時，函數f（x）在［0，+∞）上是單調函數.

Answer 1

（1）解：∵≤1+ax.

又a>0，∴.

當0<a<1時，解集為{x|0≤x≤}；

當a≥1時，解集為{x|x≥0}.

（2）證明：f′（x）=－a=－a，

∵x∈［0，+∞），<1，a≥1，

∴當x∈［0，+∞）時，f′（x）<0.

∴函數f（x）在［0，+∞）上為單調函數.

點評：（1）由本題（2）的證明過程可以看出，采用求導的方法對于證明一些含參數的函數的單調性是非常簡便的，可以避免用定義證明所帶來的煩瑣運算.

（2）對于證明含參數的函數的單調性，應注意到，不僅要考慮到參數的范圍，而且要結合自變量的范圍來確定f′（x）的符號，否則會產生錯誤.