Question

【題目】已知函數f（x）＝|x+1|+2|x﹣m|

（1）當m＝2時，求f（x）≤9的解集；

（2）若f（x）≤2的解集不是空集，求實數m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）[﹣2，4]（2）[﹣3，1]

【解析】

（1）當m＝2時，函數f（x）＝|x+1|+2|x﹣2|≤9,對x分類討論，分別在三個區間，去掉絕對值求解不等式即可求得解集；

（2）若f（x）≤2的解集不是空集，轉化為f（x）min≤2成立，又根據|x+1|+|x﹣m|≥|m+1|恒成立，f（x）min＝|m+1|≤2，解得﹣3≤m≤1.

（1）當m＝2時，f（x）＝|x+1|+2|x﹣2|.

∵f（x）≤9，∴或或，

∴2＜x≤4或﹣1≤x≤2或﹣2≤x＜﹣1，

∴﹣2≤x≤4，

∴不等式的解集為[﹣2，4]；

（2）∵f（x）≤2的解集不是空集，

∴f（x）min≤2.

∵|x+1|+|x﹣m|≥|m+1|，|x﹣m|≥0，

∴f（x）＝|x+1|+2|x﹣m|≥|m+1|，當且僅當x＝m時取等號，

∴|m+1|≤2，∴﹣3≤m≤1，

∴實數m的取值范圍為[﹣3，1].