Question

有甲、乙2名老師和4名學生站成一排照相．
（1）甲、乙兩名老師必須站在兩端，共有多少種不同的排法？
（2）甲、乙兩名老師必須相鄰，共有多少種不同的排法？
（3）甲、乙兩名老師不能相鄰，共有多少種不同的排法？
（4）甲、乙兩名老師之間必須站兩名同學，共有多少種不同的排法？
（5）甲老師不能站在首位，乙老師不能站末位，共有多少種不同的排法？
（6）同學丙不能和甲、乙兩名老師相鄰，共有多少種不同的排法？（必須寫出解析式再算出結果才能給分）

Answer 1

分析：（1）甲、乙兩名老師必須站在兩端，則甲和乙站在兩端，4名學生在中間排列，共有A₄⁴A₂²種結果．
（2）甲、乙兩名老師必須相鄰，則可以把兩名教師看做一個元素，同4名學生進行排列，注意教師之間還有一個排列
（3）兩名教師不能相鄰，可以先排列學生，有A₄⁴種結果，再在學生形成的5個空中排列兩名教師，有A₅²種結果，根據分步計數原理知共有24×20種結果．
（4）甲、乙兩名老師之間必須站兩名同學，則從4名學生中選兩個排列在教師之間，兩名教師和2個學生組成一個元素同另外2個元素進行排列．
（5）分成兩種情況甲站在右端有A₅⁵=120種結果，甲不在右端，甲有4種情況，乙也有4種結果，余下的4個人在四個位置全排列，共有4×4×A₄⁴=384種結果，相加得到結果．
（6）甲、乙都不與丙相鄰，可用排除法計數，計算出甲乙兩人至少有一人與丙相鄰的種數，從總數中減去．

解答：解：（1）甲、乙兩名老師必須站在兩端，則甲和乙站在兩端，4名學生在中間排列，共有A₄⁴A₂²=48種結果．
（2）甲、乙兩名老師必須相鄰，則可以把兩名教師看做一個元素，
同4名學生進行排列，注意教師之間還有一個排列，共有A₅⁵A₂²=240種結果
（3）由題意知兩名老師不能相鄰，可以先排列學生，有A₄⁴=24種結果，
再在男生寫出的5個空中排列兩名老師，有A₅²=20種結果，
根據分步計數原理知共有24×20=480種結果
即兩名老師不能相鄰的排列方法有480種結果
（4）甲、乙兩名老師之間必須站兩名同學，則從4名學生中選兩個排列在教師之間，兩名教師和2個學生組成一個元素同另外2個元素進行排列，共有A₄²A₂²A₃³=144種結果．
（5）由題意知可以分成兩種情況甲站在右端有A₅⁵=120種結果，
甲不在右端，甲有4種情況，乙也有4種結果，余下的4個人在四個位置全排列，共有4×4×A₄⁴=384種結果，
∴根據分步計數原理知共有120+384=504種結果．
（6）甲、乙都不與丙相鄰排法種數可以從全排列種數中排除甲乙兩人至少有一人與丙相鄰的種數，
故有A₆⁶-2A₂²×A₅⁵+A₂²A₄⁴=288．

點評：本題考查排列組合的實際應用，本題解題的關鍵是不相鄰問題采用插空法，相鄰問題采用捆綁法，本題包括的情況比較多，是一個綜合題目．