Question

已知函數y=sinxcosx-

3

sin²x，
（1）指出函數的對稱軸、對稱中心；
（2）指出函數的單調遞增區間；
（3）函數在[-

2π

3

，-

π

12

]上的最大、最小值，并指出取得最大、最小值時的x的值．

Answer 1

分析：利用二倍角公式，以及兩角和的正弦函數，化簡函數y=sinxcosx-

3

sin²x為：y=sin（2x+

π

3

）-

3

2

，
（1）根據正弦函數的對稱軸，對稱中心的橫坐標，求出函數y=sinxcosx-

3

sin²x的對稱軸、對稱中心．
（2）利用正弦函數的單調增區間，求出函數y=sinxcosx-

3

sin²x的單調增區間即可．
（3）根據[-

2π

3

，-

π

12

]求出2x+

π

3

的取值范圍，然后求出函數的最大值以及最小值，寫出最值時的x的值．

解答：解：y=sinxcosx-

3

sin²x=sin（2x+

π

3

）-

3

2

，
（1）對稱軸：由2x+

π

3

=kπ+

π

2

得x=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z；
對稱中心：由2x+

π

3

=kπ得x=

kπ

2

-

π

6

，
∴函數圖象的對稱中心為（

kπ

2

-

π

6

，-

3

2

）k∈Z．
（2）由2x+

π

3

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]得x∈[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z，
∴[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z．
（3）將2x+

π

3

視為一個角θ，∵x∈（-

2π

3

，-

π

12

]
∴θ∈（-π，

π

6

]，畫函數y=sinθ的草圖，觀察θ∈（-π，

π

6

]時函數值的范圍為[-1，

1

2

]，
當且僅當θ=-

π

2

時sinθ取得最小值-1，θ=

π

6

時sinθ取得最大值

1

2

；
即x=-

5π

12

時原函數最小值-2-

3

2

，x=-

π

12

時原函數最大值1-

3

2

．

點評：本題是中檔題，考查利用二倍角和兩角和的正弦函數化簡三角函數，利用基本函數的性質，求解三角函數的性質，是解好數學問題的常用方法．