Question

【題目】某制瓶廠要制造一批軸截面如圖所示的瓶子,瓶子是按照統一規格設計的,瓶體上部為半球體,下部為圓柱體,并保持圓柱體的容積為3π.設圓柱體的底面半徑為x,圓柱體的高為h,瓶體的表面積為S.

(1)寫出S關于x的函數關系式;

(2)如何設計瓶子的尺寸(不考慮瓶壁的厚度),可以使表面積S最小,并求出最小值.

Answer 1

【答案】（1）S=3πx2+(x>0).（2）當圓柱體的底面半徑為1時,可使表面積S取得最小值9π.

【解析】

（1）根據體積公式求出h，再根據表面積公式計算即可得到S與x的關系式，

（2）根據導數和函數的最值得關系即可求出．

解:(1)據題意可知πx2h=3π,得h=,

則S=·4πx2+πx2+2πx·=3πx2+(x>0).

(2)S'=6πx-,

令S'=0,得x=1.列表如下:

x	(0,1)	1	(1,+∞)
S'	-	0	+
S	↘	極小值9π	↗

當x=1時,S取得極小值,且是最小值,

故當圓柱體的底面半徑為1時,可使表面積S取得最小值9π.