Question

（2013•石景山區一模）已知函數f（x）=ax-1-lnx，a∈R．
（Ⅰ）討論函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數f（x）在x=1處取得極值，對?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：①對函數進行求導，然后令導函數大于0求出x的范圍，令導函數小于0求出x的范圍，即可得到答案；
②由函數f（x）在x=1處取得極值求出a的值，再依據不等式恒成立時所取的條件，求出實數b的取值范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）在區間（0，+∞）上，f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

．…（1分）
①若a≤0，則f′（x）＜0，f（x）是區間（0，+∞）上的減函數；     …（3分）
②若a＞0，令f^′（x）=0得x=

1

a

．
在區間（0，

1

a

）上，f^′（x）＜0，函數f（x）是減函數；
在區間(

1

a

，+∞)上，f^′（x）＞0，函數f（x）是增函數；
綜上所述，①當a≤0時，f（x）的遞減區間是（0，+∞），無遞增區間；
②當a＞0時，f（x）的遞增區間是(

1

a

，+∞)，遞減區間是(0，

1

a

)．…（6分）
（II）因為函數f（x）在x=1處取得極值，所以f^′（1）=0
解得a=1，經檢驗滿足題意．…（7分）
由已知f（x）≥bx-2，則

x-1-lnx

x

≥b       …（8分）
令g(x)=

x-1-lnx

x

=1-

1

x

-

lnx

x

，則g′(x)=-

1

x2

-

1-lnx

x2

=

lnx-2

x

      …（10分）
易得g（x）在（0，e²]上遞減，在[e²，+∞）上遞增，…（12分）
所以g（x）_min=g(e2)=1-

1

e2

，即b≤1-

1

e2

．                   …（13分）

點評：本題主要考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．
會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件．