Question

已知函數，

（I）當時，求曲線在點處的切線方程；

（II）在區間內至少存在一個實數，使得成立，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（I）；（II）.

【解析】

試題分析：（I）先把帶入函數解析式，再對函數求導，然后求在已知點的切線的斜率和已知點的坐標，再由點斜式求切線方程；（II）法1：先求函數的導函數，得導函數為0時的根值，討論根值在區間的內外情況，判斷原函數在區間的單調性，從而讓原函數在區間上的最小值小于0，解得的取值范圍.法2：把利用分離變量法分離，構造新的函數，利用導數求新函數在區間上的最小值，讓小于最小值就是的取值范圍．

試題解析：（I）當時，，，           2分

曲線在點 處的切線斜率，

所以曲線在點處的切線方程為．      6分

（II）解1：    7分

當，即時，，在上為增函數，

故，所以， ，這與矛盾   9分

當，即時，

若，；若，，

所以時，取最小值，因此有，即，

解得，這與矛盾；                              12分

當即時，，在上為減函數，所以

，所以，解得，這符合．

綜上所述，的取值范圍為．                               15分

解2：有已知得：，                          8分

設，，                    10分

，，所以在上是減函數．         12分

，故的取值范圍為                     15分

考點：1、利用導函數求切線方程；2、導函數的性質；3、分離變量法.