Question

如右圖所示,作邊長為a的正三角形的內切圓,在這個圓內作內接正三角形,然后,再作新三角形的內切圓.如此下去,求前n個內切圓的面積和.

Answer 1

前n個內切圓的面積和是(1-)π.

解析:

設第n個正三角形的內切圓的半徑為a_n.

    因為從第2個正三角形開始,每一個正三角形的邊長是前一個正三角形邊長的,每一個正三角形內切圓的半徑也是前一個正三角形內切圓半徑的,

    故a₁=atan30°=a×=a,a₂=a₁,…,a_n=a_n-1.

∴數列{a_n}是首項為a,公比為的等比數列.∴a_n=×()^n-1a.

    設前n個內切圓的面積和為S_n,則

S_n=π(a₁²+a₂²+…+a_n²)=πa₁²［1+()²+()²+()²］=πa₁²［1+()+()²+…+()^n-1］=×(1-)π=(1-)π.