Question

【題目】設函數，其中.

（1）討論函數極值點的個數，并說明理由；

（2）若，成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】分析：（1）求得導函數，根據的取值范圍分析討論導函數的符號，進而判斷極值點情況。

（2）根據（1）中極值點的情況，討論分析函數的最值，由恒成立條件求出的取值范圍。

詳解：解：（1），定義域為，

，

設，

當時，，，函數在為增函數，無極值點.

當時，，

若時，，，函數在為增函數，無極值點.

若時，設的兩個不相等的實數根，，且，

且，而，則，

所以當，，，單調遞增；當，，，單調遞減；當，，，單調遞增.因此此時函數有兩個極值點；

當時，但，，所以當，，，單調遞增；當，，，單調遞減.所以函數只有一個極值點.

綜上可知當時的無極值點；當時有一個極值點；當時，有兩個極值點.

（2）由（1）可知當時在單調遞增，而，則當時，，符合題意；

當時，，，在單調遞增，而，則當時，，符合題意；

當時，，，所以函數在單調遞減，而，則當時，，不符合題意；

當時，設，當時，在單調遞增，因此當時，，，于是，當時，此時，不符合題意.

綜上所述，的取值范圍是.

另解：（1），定義域為，

，

當時，，函數在為增函數，無極值點.

設，，，

當時，根據二次函數的圖象和性質可知的根的個數就是函數極值點的個數.

若，即時，，，函數在為增函數，無極值點.

若，即或，

而當時此時方程在只有一個實數根，此時函數只有一個極值點；

當時方程在都有兩個不相等的實數根，此時函數有兩個極值點；

綜上可知當時的極值點個數為；當時的極值點個數為；當時，的極值點個數為.

（2）設函數，，都有成立.

即，當時，恒成立；

當時，，；

當時，，；由均有成立.

故當時，，則只需；

當時，，則需，即.綜上可知對于，都有成立，只需即可，故所求的取值范圍是.

另解：設函數，，要使，都有成立，只需函數在上單調遞增即可，

于是只需，成立，

當時，令，，

則；當時；當，，

令，關于單調遞增，則，則，于是.

又當時，，，所以函數在單調遞減，而，

則當時，，不符合題意；

當時，設，當時，在單調遞增，因此當時，，于是，當時，此時，不符合題意.

綜上所述，