Question

【題目】如圖（1），等腰梯形，，，，、分別是的兩個三等分點.若把等腰梯形沿虛線、折起，使得點和點重合，記為點，如圖（2）.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）根據平幾知識得，，再根據線面垂直判定定理得面，最后根據面面垂直判定定理得結論;（Ⅱ）根據條件建立空間直角坐標系，設點坐標，利用方程組以及向量數量積求各平面法向量，根據向量數量積求法向量夾角，最后根據二面角與向量夾角關系得結果.

（Ⅰ），是的兩個三等分點，

易知，是正方形，故

又，且

所以面

又面

所以面

（Ⅱ）過作于，過作的平行線交于，則面

又所在直線兩兩垂直，以它們為軸建立空間直角坐標系

則，，，

所以，，，

設平面的法向量為

則∴

設平面的法向量為

則∴

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值