Question

設函數．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤1；
（Ⅱ）求a的取值范圍，使f（x）在區間（0，+∞）上是單調減函數．

Answer 1

解：（Ⅰ）由，化為．（1分）
當a=1時，不等式化為，解集為{x|x＞-1}．（3分）
當a＞1時，有，解集為．（5分）
當a=-1時，不等式化為 ，解集為{x|x∈R，x≠-1}．（8分）
當a＜-1時，有，a-1＜0，
不等式的解集為{x|x＜-1，或 x＞}．（10分）
（Ⅱ）任取 0＜x₁＜x₂，且 則（11分）
=．（12分）
因x₂＞x₁故x₂-x₁＞0，又在（0，+∞）上有 x₂+1＞0，x₁+1＞0，
∴只有當a+1＜0時，即a＜-1時．才總有f（x₂）-f（x₁）＜0．
∴當a＜-1時，f（x）在（0，+∞）上是單調減函數．（14分）
分析：（Ⅰ）把不等式化為化為，分a=1、a＞1、a=-1、a＜-1四種情況，分別求出解集．
（Ⅱ）任意取0＜x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）=，要使f（x）在區間（0，+∞）上是單調減函數，
只有a+1＜0，由此求得a的取值范圍．
點評：本題主要考查分式不等式的解法，函數的單調性的證明方法，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．