Question

已知復數z=1+

2i

1-i

，則1+z+z²+…+z²⁰⁰⁸的值為（　�。�

A．1+i

B．1

C．i

D．-i

Answer 1

分析：先進行復數的除法運算分子和分母同乘以分母的共軛復數，得到最簡形式，再總結規律1+z+z²+…+z²⁰⁰⁸=1+502（i+i²+i³+i⁴），根據虛數單位的性質求出其結果．

解答：解：∵z=1+

2i

1-i

=1+

2i(1+i)

(1-i)(1+i)

=1+

-2+2i

2

=i，
∵根據虛數的單位可以知道i+i²+i³+i⁴=0
又2008÷4=502
∴1+z+z²+…+z²⁰⁰⁸=1+502（i+i²+i³+i⁴）
∴原式=1+502×0
=1．
故選B．

點評：本昰考查復數的代數形式的混合運算，考查虛數單位的性質，本題解題的關鍵是看出要求的代數式中具有的周期性，解題時要仔細解答，注意合理地進行等價轉化，本題是一個基礎題．