Question

（2013•日照二模）如圖是一直三棱柱（側棱CD⊥底面ABC）被削去上底后的直觀圖與三視圖的側（左）視圖、俯視圖，在直觀圖中，M是BD的中點，N是BC的重點，側（左視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關數據如圖所示．
（Ⅰ）求該幾何體的體積；
（Ⅱ）求證：AN∥平面CEM；
（Ⅲ）求證：平面BDE⊥平面BCD．

Answer 1

分析：（I）由平面ABC⊥平面ACDE，結合面面垂直的性質定理可得AB⊥平面ACDE，結合已知三視圖中數據可得AC=AB=AE=2，CD=4，代入棱錐體積公式，可得答案．
（II）連接MN，由三角形中位線定理及平行四邊形判定定理可得四邊形ANME為平行四邊形，即AN∥EM，結合線面平行的判定定理可得AN∥平面CEM；
（Ⅲ）根據等腰三角形三線合一，可得AN⊥BC，結合面面垂直的性質定理可得AN⊥平面BCD，結合（II）中AN∥EM，由線面垂直的判定定理得到EM⊥平面BCD，再由面面垂直的判定定理得到平面BDE⊥平面BCD．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知：
四棱錐B-ACDE中，平面ABC⊥平面ACDE，AB⊥AC，
又∵平面ABC∩平面ACDE=AC，AB?平面ABC
∴AB⊥平面ACDE，
又∵AC=AB=AE=2，CD=4，…（2分）
則四棱錐B-ACDE的體積為：V=

1

3

S梯形ACDE•AB=

1

3

×

(4+2)×2

2

×2=4，
即該幾何體的體積為4．…（4分）
證明：（Ⅱ）由題圖知，連接MN，則MN∥CD，
且MN=

1

2

CD．
又AE∥CD，且AE=

1

2

CD，…（6分）
∴MN∥AE，MN=AE，
∴四邊形ANME為平行四邊形，
∴AN∥EM．
∵AN?平面CME，EM?平面CME，
∴AN∥平面CME．…（8分）
（Ⅲ）∵AC=AB，N是BC的中點，
∴AN⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AN?平面ABC
∴AN⊥平面BCD．…（10分）
由（Ⅱ）知：AN∥EM，
∴EM⊥平面BCD，
又EM?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCD．…（12分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，棱錐的體積，平面與平面垂直的判定，其中（I）的關鍵是由面面垂直的性質定理可得AB⊥平面ACDE，（II）的關鍵是分析出四邊形ANME為平行四邊形，即AN∥EM，（III）的關鍵是熟練掌握空間線線垂直，線面垂直與面面垂直之間的相互轉化．