Question

根據如圖所示的程序框圖，將輸出的x、y值依次分別記為：x₁，x₂，…，x_n，…，x₂₀₀₈；y₁，y₂，…，y_n，…，y₂₀₀₈．
（1）①寫出x₁，x₂，x₃，x₄，②求數列{x_n}的通項公式x_n；
（2）寫出y₁，y₂，y₃，y₄，由此猜想出數列{y_n}的一個通項公式y_n，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由由程序框圖可知x_n+1=x_n+2，x₁=1，代入遞推公式可得x₁，x₂，x₃，x₄，的值，進而根據等差數列的性質可得{x_n}是首項為x₁=1公差為2的等差數列，進而得到其通項公式；
（2）由程序框圖可知y_n+1=3y_n+2，y₁=2，代入遞推公式可得y₁，y₂，y₃，y₄，的值，進而猜想出數列{y_n}的一個通項公式y_n，理由綜合法，可證明結論．

解答：解：（1）由程序框圖可知：
x_n+1=x_n+2…（1分）
x₁=1，x₂=3，x₃=5，x₄=7…（4分）
∴{x_n}是首項為x₁=1公差為2的等差數列
∴x_n=1+（n-1）2=2n-1
即{x_n}的通項公式為x_n=2n-1…（7分）
（2）由程序框圖可知y_n+1=3y_n+2…（8分）
∵y₁=2，∴y₂=8，y₃=26，y₄=80…（11分）
猜想y_n=3ⁿ-1，以下為證明…（12分）…
∵y_n+1=3y_n+2，∴y_n+1+1=3（y_n+1），
∴{y_n+1}是首項為y₁+1=3，公比為3
的等比數列，∴y_n+1=3ⁿ，∴y_n=3ⁿ-1．…（14分）

點評：本題考查的知識點是循環結構，等差數列的通項公式，等差數列的通項公式，等差關系的確定，等比關系的確定，正確理解流程圖所表示的含義，分析出數列{x_n}與數列{y_n}的遞推公式，即可得到答案．