Question

一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數列，（1）求橢圓的離心率；（2）若橢圓的焦點在x軸上且短軸長為8，求橢圓的標準方程．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓基本量的平方關系和等差中項列式，解關于a、c的方程得c=

3

5

a，即可得到該橢圓的離心率；
（2）設出橢圓標準方程，由b=4結合（1）的結論算出a=3，從而得到該橢圓的標準方程．

解答：解：（1）∵長軸長、短軸長和焦距成等差數列
∴2b=a+c，平方得4（a²-c²）=（a+c）²
化簡得5c²+2ac-3a²=0，解之得c=

3

5

a
因此，該橢圓的離心率e=

c

a

=

3

5

；
（2）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
由（1）得2b=8，得b=4=

a2-c2

結合c=

3

5

a，解得a=5
∴橢圓的標準方程是

x2

25

+

y2

16

=1．

點評：本題給出橢圓的長軸長、短軸長和焦距成等差數列，并依此在短軸長為8的情況下求橢圓的標準方程．著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質、等差數列等知識，屬于中檔題．