Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y2＝2px(p>0)上一點P到準線的距離與到原點O的距離相等，拋物線的焦點為F.

(1)求拋物線的方程；

(2)若A為拋物線上一點(異于原點O)，點A處的切線交x軸于點B，過A作準線的垂線，垂足為點E，試判斷四邊形AEBF的形狀，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】(1)y2＝6x； (2) 菱形，證明見解析

【解析】

(1)由點P到準線的距離與到原點O的距離相等，可得點P在線段OF的中垂線上，進而可求p的值，即得拋物線的方程；(2)設點A在x軸的上方，設其坐標，由導函數的幾何意義寫出點A處的切線方程，可得到點B的坐標，進而可寫出與的坐標，進而得兩向量相等，再結合拋物線定義可得AF＝AE，可得四邊形AEBF的形狀。

(1)由題意得點P到準線的距離等于PO，

由拋物線的定義得點P到準線的距離為PF，

所以PO＝PF，即點P在線段OF的中垂線上，

所以，p＝3，

所以拋物線的方程為y2＝6x.

(2)四邊形AEBF為菱形，理由如下：

由拋物線的對稱性，設點在x軸的上方，所以點A處切線的斜率為，

所以點A處切線的方程為y－y0＝，

令上式中y＝0，得x＝－，

所以B點坐標為，

又，

所以

所以，所以FA∥BE，

又因為AE∥FB，故四邊形AEBF為平行四邊形，

再由拋物線的定義，得AF＝AE，所以四邊形AEBF為菱形.