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設函數f(x)=(x-1)2+blnx,其中b為常數.
(1)當b>
1
2
時,判斷函數f(x)在定義域上的單調性;
(2)若函數f(x)的有極值點,求b的取值范圍及f(x)的極值點;
(3)求證對任意不小于3的正整數n,不等式
1
n2
<ln(n+1)-lnn<
1
n
都成立.
分析:(1)首先函數的定義域為(0,+∞),然后求出函數的導數f′(x),將f′(x)變形為
2(x-
1
2
)
2
+b-
1
2
x
,再結合x>0和b>
1
2
得f′(x)>0,可得函數f(x)在定義域(0,+∞)上單調遞增.
(2)方程f′(x)=
2x2-2x+b
x
=0
在(0,+∞)有兩個不相等的實數根時,函數有極值.然后利用根的判別式算得當b<
1
2
時,函數存在極值點,最后根據b≤0和0<b<
1
2
兩種情況分別得出函數的極值點;
(3)由(2)可知當b=-1時,函數f(x)=(x-1)2-lnx,利用其單調性,取自變量x=1+
1
n
,可以證出n≥3時有ln(n+1)-lnn>
1
n2
成立,再設出函數h(x)=(x-1)-lnx,用類似的方法得出n≥3時ln(n+1)-lnn=ln
n+1
n
1
n
 
ln(n+1)-lnn=ln(1+
1
n
)<
1
n
 
成立,兩者相結合可得對任意不小于3的正整數n,不等式
1
n2
<ln(n+1)-lnn<
1
n
都成立.
解答:解:(1)由題意知,f(x)的定義域為(0,+∞),
f′(x)=2x-2+
b
x
=
2x2-2x+b
x
=
2(x-
1
2
)
2
+b-
1
2
x
(x>0)

∴當b>
1
2
時,f'(x)>0,函數f(x)在定義域(0,+∞)上單調遞增.
(2)①由(Ⅰ)得,當b>
1
2
時,函數f(x)在定義域上無極值點.
b=
1
2
時,f′(x)=
(2x-1)2
2x
=0
有兩個相同的解x=
1
2
,
但當x∈(0,
1
2
)時,f'(x)>0;
當x∈(
1
2
,+∞)時,f'(x)>0,
∴當b=
1
2
時,函數f(x)在(-1,+∞)上無極值點.
③當b<
1
2
時,f'(x)=0有兩個不同解,x1=
1
2
-
1-2b
2
,x2=
1
2
+
1-2b
2

∴(i)b≤0時,x1=
1
2
-
1-2b
2
≤0∉(0,+∞),舍去,而x2=
1
2
+
1-2b
2
≥1∈(0,+∞),
此時f'(x),f(x)隨x在定義域上的變化情況如表:
x (0,x2 x2 (x2,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) 極小值
由此表可知:∵b≤0時,f(x)有惟一極小值點,x=
1
2
+
1-2b
2
,
(ii)當0<b<
1
2
時,0<x1<x2<1
此時,f'(x),f(x)隨x的變化情況如下表:
x (0,x1 x1 (x1,x2 x2 (x2,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 極大值 極小值
由此表可知:0<b<
1
2
時,f(x)有一個極大值x1=
1
2
-
1-2b
2
和一個極小值點x2=
1
2
+
1-2b
2
;
綜上所述:當且僅當b<
1
2
時f(x)有極值點;
當b≤0時,f(x)有惟一最小值點,x=
1
2
+
1-2b
2
;
0<b<
1
2
時,f(x)有一個極大值點x=
1
2
-
1-2b
2
和一個極小值點x=
1
2
+
1-2b
2

(3)由(2)可知當b=-1時,函數f(x)=(x-1)2-lnx,
此時f(x)有惟一極小值點x=
1
2
+
1-2b
2
=
1+
3
2

x∈(0,
1+
3
2
)
時,f'(x)<0,f(x)在(0,
1+
3
2
)為減函數
∵當n≥3時,0<1<1+
1
n
4
3
1+
3
2
,
∴恒有f(1)>f(1+
1
n
),即恒有0>
1
n2
-ln(1+
1
n
)

∴當n≥3時恒有ln(n+1)-lnn>
1
n2
成立
令函數h(x)=(x-1)-lnx(x>0)則h'(x)=1-
1
x
=
x-1
x

∴x>1時,h'(x)>0,又h(x)在x=1處連續
∴x∈[1,+∞)時h(x)為增函數
∵n≥3時1<1+
1
n

∴h(1+
1
n
)>h(1),即
1
n
-ln(1+
1
n
)
>0
∴ln(n+1)-lnn=ln(1+
1
n
)<
1
n

綜上述可知n≥3時,恒有
1
n
>ln(n+1)-lnn>
1
n2
點評:本題考查了利用導數研究函數的單調性和含有字母參數的函數極值的討論,屬于難題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

設函數f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數y=f(x)圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
,求a的值;
(2)關于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數恰有3個,求實數a的取值范圍;
(3)對于函數f(x)與g(x)定義域上的任意實數x,若存在常數k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數f(x)與g(x)的“分界線”.設a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

設函數f(x)是定義在R上的偶函數,且f(x+2)=f(x)恒成立;當x∈[0,1]時,f(x)=x3-4x+3.有下列命題:
f(-
3
4
) <f(
15
2
)

②當x∈[-1,0]時f(x)=x3+4x+3;
③f(x)(x≥0)的圖象與x軸的交點的橫坐標由小到大構成一個無窮等差數列;
④關于x的方程f(x)=|x|在x∈[-3,4]上有7個不同的根.
其中真命題的個數為( 。

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科目:高中數學 來源:徐州模擬 題型:解答題

設函數f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數y=f(x)圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
,求a的值;
(2)關于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數恰有3個,求實數a的取值范圍;
(3)對于函數f(x)與g(x)定義域上的任意實數x,若存在常數k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數f(x)與g(x)的“分界線”.設a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數學 來源:2011年江蘇省蘇、錫、常、鎮四市高三調研數學試卷(一)(解析版) 題型:解答題

設函數f(x)=x(x-1)2,x>0.
(1)求f(x)的極值;
(2)設0<a≤1,記f(x)在(0,a]上的最大值為F(a),求函數的最小值;
(3)設函數g(x)=lnx-2x2+4x+t(t為常數),若使g(x)≤x+m≤f(x)在(0,+∞)上恒成立的實數m有且只有一個,求實數m和t的值.

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科目:高中數學 來源:2011年江蘇省蘇州市高考數學一模試卷(解析版) 題型:解答題

設函數f(x)=x(x-1)2,x>0.
(1)求f(x)的極值;
(2)設0<a≤1,記f(x)在(0,a]上的最大值為F(a),求函數的最小值;
(3)設函數g(x)=lnx-2x2+4x+t(t為常數),若使g(x)≤x+m≤f(x)在(0,+∞)上恒成立的實數m有且只有一個,求實數m和t的值.

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