Question

【題目】若存在實常數和，使得函數和對其公共定義域上的任意實數都滿足： 和恒成立，則稱此直線為和的“隔離直線”，已知函數, ,有下列命題：

①在內單調遞增；

②和之間存在“隔離直線”，且的最小值為-4；

③和之間存在“隔離直線”，且的取值范圍是；

④和之間存在唯一的“隔離直線”.

其中真命題的個數有( )

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】C

【解析】①， ，在內單調遞增，故①正確；②，③設的隔離直線為，則對一切實數成立，即有，又對一切成立，則，即，即有且，同理可得，故②正確，③錯誤，④函數和的圖象在處有公共點，因此存在和的隔離直線，那么該直線過這個公共點，設隔離直線的斜率為，則隔離直線方程為，即，由，可得，當恒成立，則，只有，此時直線方程為，下面證明，令 ， ，當時， ；當時， ；當時， ；當時， 取到極小值，極小值是，也是最小值， ，則， 函數和存在唯一的隔離直線，故④正確，真命題的個數有三個，故選C.