Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形是等腰梯形，∥，平面.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】：（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（1）要證明直線和平面垂直，只需證明直線和平面內的兩條相交直線垂直．由已知得，故只需證明，在中，由余弦定理得的關系，即的關系確定，在中，結合已知條件可判定是直角三角形，且，從而可證明BD⊥平面AED；（2）求二面角，可先找后求，過作，由已知FC⊥平面ABCD，得面，故，，故為二面角F—BD—C的平面角，在中計算．

（1）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB= 60°，，由余弦定理可知，

，即，在中，，，則是直角三角形，且，又，且，故BD⊥平面AED．

（2）過作，交于點，因為FC⊥平面ABCD，面，所以，所以

面，因此，，故為二面角F—BD—C的平面角.

在中，，可得

因此. 即二面角F—BD—C的正切值為2.