Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c，設x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂）．求證：方程f(x)=

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[f(x1)+f(x2)]有兩個不相等的實數根，且必有一個屬于（x₁，x₂）．

Answer 1

分析：令g（x）=f（x）-

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2

[f（x₁）+f（x₂）]，可證得g（x）=0的判別式△＞0，再根據零點存在定理進行判斷，證g（x₁）•g（x₂）＜0及g（x）圖象連續，從而可知g（x）在區間（x₁，x₂） 內必有零點，由此即可得到結論．

解答：證明：令g（x）=f（x）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=ax²+bx+c-

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2

[f（x₁）+f（x₂），
因為△=b2-4a[c-

f(x1)+f(x2)

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]=b²-4ac+2a[f（x₁）+f（x₂）]=b²-4ac+2a[ax12+bx1+c+ax22+bx2+c]=[b+a(x1+x2)]2+a2(x1-x2)2，
又x₁＜x₂，所以△＞0，
所以g（x）=0有兩個不等實根，即方程f(x)=

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[f(x1)+f(x2)]有兩個不相等的實數根；
而g（x₁）=f（x₁）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=-

f(x2)-f(x1)

2

，g（x₂）=f（x₂）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=

f(x2)-f(x1)

2

，
∴g（x₁）•g（x₂）=-

1

4

[f（x₂）-f（x₁）]²＜0．
再由g（x）的圖象是連續的，可得g（x）在區間（x₁，x₂） 內必有零點，即 f（x）-

f(x1)+f(x2)

2

=0在區間（x₁，x₂） 內必有實數根．
綜上可得，方程f(x)=

1

2

[f(x1)+f(x2)]有兩個不相等的實數根，且必有一個屬于（x₁，x₂）．

點評：本題考查根的存在性及根個數的判斷、二次函數的性質，考查轉化思想，考查學生分析解決問題的能力．