Question

【題目】已知直線l：與拋物線C：相切．

（1）求拋物線方程；

（2）斜率不為0的直線經過拋物線C的焦點F，交拋物線于兩點A，B，拋物線C上是否存在兩點D，E關于直線對稱．若存在求出斜率k的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，理由見解析

【解析】

（1）聯立直線的方程和拋物線方程，利用判別式為零列方程，解方程求得，由此求得拋物線方程.

（2）設出直線的方程，根據對稱性設出直線的方程，聯立直線的方程和拋物線方程，化簡后寫出根與系數關系以及判別式，由此求得中點的坐標，將點坐標代入直線的方程，化簡后判斷出符合題意的不存在.

由題聯立方程組．

因為直線l與拋物C相切，所以，舍，

所以拋物線C的方程為．

由可知，所以可設直線的方程為．

假設拋物線C上存在兩點D，E關于直線對稱，

可設直線DE的方程為，

聯立方程組．

由，得，

設，，DE中點為，

則，，

因為在直線上，所以將其代入方程，

得，即，

代入，得，

所以k無解，故不存在．

即拋物線C上不存在兩點D，E關于過焦點的直線對稱．