Question

    已知整數數列滿足：，.

(1) 求數列的通項公式；

(2) 將數列中的所有項依次按如圖所示的規律循環地排成如下三角形數表：

……

依次計算各個三角形數表內各行中的各數之和，設由這些和按原來行的前后順序構成的數列為，

求的值；

(3) 令 (為大于等于的正整數)，問數列中是否存在連續三項成等比數列？

若存在，求出所有成等比數列的連續三項；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：（1）因為數列是整數列，所以是整數， 所以都是整數，

又，所以.……3分

即數列是首項為1，公差的等差數列，

所以.                                      ……………5分

（2）設每一個循環（4行）記為一組，由于每一個循環含有4行，

故是第25個循環中第4行中各數之和.                      ……………6分

由循環分組規律知，每個循環共有10項，

故第25個循環中的第4行內的4個數分別為數列 的第247項至第250項，又，

所以.…8分

又，所以.      ……………10分

（3）因為， 設數列中，成等比數列，

即，所以.

化簡得.  (*)                               ……………12分

當時，，等式(*)成立，而，故等式(*)不成立；

當時，，等式(*)成立；

當時，，這與矛盾，

這時等式(*)不成立.                               …………   …14分

綜上所述，當時，數列中不存在連續三項成等比數列；

當時，數列中的第二、三、四項成等比數列，這三項依次是18，30，50. ………16分