Question

在公差不為零的等差數列{a_n}與等比數列{b_n}中，設a₁=1,a₁=b₁,a₂=b₂,a₈=b₃.

(1)求公差和公比.

(2)是否存在常數a、b∈R，使對一切n∈N，都有a_n=log_ab_n+b成立？若存在，求之；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：(1)設{a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q,則有

a₂=b₂1+d=q，                        ①

a₈=b₃1+7d=q².                        ②

由①②解得q=6,d=5.

(2)∵a₁=1,b₁=a₁=1,d=5,q=6,

∴a_n=5n-4,b_n=6^n-1.

假設存在a、b，使n∈N,都有a_n=log_ab_n+b,

∴5n-4=log_a6^n-1+b.

∴(5-log_a6)n+(log_a6-b-4)=0，得

解得a=,b=1.