Question

（2011•韶關模擬）對函數f（x）=x•sinx，現有下列命題：
①函數f（x）是偶函數；
②函數f（x）的最小正周期是2π；
③點（π，0）是函數f（x）的圖象的一個對稱中心；
④函數f（x）在區間[0，

π

2

]上單調遞增，在區間[-

π

2

，0]上單調遞減．其中是真命題的是（　�。�

A．①④

B．②④

C．②③

D．①③

Answer 1

分析：根據函數奇偶性的定義，可證出f（x）是偶函數，得①正確；通過舉反例，得到函數的周期不是2π，故②不正確；利用函數g（x）=f（x+π）不是奇函數，得到③不正確； 利用導數研究函數f（x）的單調性，結合函數是偶函數，可得④是真命題．由此可得正確答案．

解答：解：對于①，因為f（-x）=-xsin（-x）=xsinx=f（x），f（x）是偶函數，故①正確；
對于②，因為f（

π

2

）=

π

2

，f（

5π

2

）=

5π

2

，而f（

π

2

）≠f（

5π

2

），所以函數的周期不是2π，故②不正確；
對于③，設f（x+π）=（x+π）sin（x+π）=g（x），則g（x）=-（x+π）sinx，g（-x）=（-x+π）sinx，不滿足g（-x）=-g（x），
所以g（x）不是奇函數．因為g（x）圖象不關于原點對稱，所以f（x）的圖象不可能關于（π，0）對稱，故③不正確；
對于④，因為f'（x）=sinx+xcosx，當x∈[0，

π

2

]時，f'（x）≥0，所以f（x）在區間[0，

π

2

]上單調遞增，
再結合函數為R上的偶函數，可得在區間[-

π

2

，0]上單調遞減，故④正確．
綜上所述，正確的命題是①④
故選A

點評：本題給出一個特殊的函數，要我們研究該函數的單調性、奇偶性和圖象的對稱性，著重考查了基本初等函數的性質、利用導數研究函數的單調性等知識點，屬于基礎題．