Question

如圖所示,公園里有一塊邊長為2a的正三角形草坪,圖中DE把草坪分成等面積的兩部分,D在AB上,E在AC上.

(1)設AD=x,ED=y,求y關于x的函數關系式.

(2)如果DE是灌溉水管,為節約成本,希望它最短,那么DE的位置應設在哪里?如果DE是參觀路線,則希望它最長,DE的位置又應設在哪里?請予以證明.

Answer 1

分析：必須先用x的代數式表示AE,以下才有條件用x的代數式表示y.

解：(1)設AE=t,∵S_△ADE=S_△ABC,

    即txsinA=·(2a)²sinA,∴tx=2a²,t=.

    由余弦定理:y²=x²+t²-2txcosA,即y²=x²+-2a².

∵y＞0,∴所求y與x的函數關系式為y=(0＜x≤2a).

(2)y與y²有相同的單調性,且(y²)′=2x-,

    令(y²)′=0,則2x⁴-8a⁴=0,得x=a.

    當x∈(0,a]時,(y²)′≤0;

    當x∈［2a,a］時,(y²)′≥0.

∴y²在(0,a]上單調遞減而在［a,2a］上單調遞增.

    故當x=a時,y_min=a,當x=2a時,y_max=a.

答:為使DE最短,應使AD=a(此時△ADE為正三角形);為使DE最長,應使AD=2a(即D與B重合,此時E為AC中點).