Question

頂點在坐標原點，開口向上的拋物線經過A（1，1），過A作拋物  線的切線交x軸于B₁，過B₁點作x軸的垂線交拋物線于A₁，過A₁作拋物線的切線交x軸于B₂，…，過A_n（x_n，y_n）作拋物線的切線交x軸于B_n+1（x_n+1，0）
（1）求{x_n}，{y_n}的通項公式；
（2）設a_n=+，數列{a_n}的前n項和為T_n．求證：T_n＞2n-．
（3）設b_n=1-log₂y_n，若對任意正整數n，不等式（1+）（1+）…（1+）≥a成立，求正數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得拋物線方程為y=x²，y^′=2x，設過點A_n（x_n，y_n）的切線為y-x_n²=2x_n（x-x_n），令y=0和x=0，即可求出{x_n}，{y_n}的通項公式．
（2）由（1）知x_n=，代入可得a_n=+=+=2-（-），從而T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n＞2n-[（-）+（-）+…+（-）]=2n-（）＞2n-，于是結論即可證得．
（3）由于y_n=，可得b_n=2n+1，則可得不等式（1+）（1+）…（1+）≥a，分離系數a，可得a≤（1+）（1+）…（1+），然后令f（n）=（1+）（1+）…（1+），根據函數的單調性解決a的取值范圍．
解答：解：（1）由已知得拋物線方程為y=x²，y^′=2x，
則設過點A_n（x_n，y_n）的切線為y-x_n²=2x_n（x-x_n），
令y=0，x=，故x_n-1=，
又x=1，∴x_n=，y_n=，
（2）證明：由（1）知x_n=，
所以a_n=+=+=2-（-），
由于＜，＞，
得-＜-，
∴a_n=2-（-）＞2-（-），
從而T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n＞2n-[（-）+（-）+…+（-）]=2n-（）＞2n-，
即T_n＞2n-，
（3）由于y_n=，故b_n=2n+1，
對于任意正整數n，不等式（1+）（1+）…（1+）≥a，
a≤（1+）（1+）…（1+）恒成立，
設f（n）=（1+）（1+）…（1+），
∴f（n+1）=（1+）（1+）…（1+）（1+），
=•（1+）=•==＞1，
∴f（n+1）＞f（n），故f（n）為遞增，
∴f（n）_min=f（1）=•=，
∴0＜a≤．
點評：本題主要考查數列與解析幾何綜合的知識點，本題是一道綜合性比較強的習題，解答本題的關鍵是準確求出數列{x_n}，{y_n}的通項公式，熟練利用函數單調性求最值等知識點，此題難度較大．