Question

在三棱錐S—ABC中,△ABC是邊長為4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M、N分別為AB、SB的中點.

(1)證明AC⊥SB;

(2)求二面角N-CM-B的大小;

(3)求點B到平面CMN的距離.

Answer 1

解析：主要考查直線與直線、直線與平面、二面角、點到平面的距離等基礎知識,考查空間想象能力、邏輯推理能力、空間向量的應用.?

方法一：(1)取AC中點D,連結SD、DB,∵SA=SC,AB=BC,?

∴AC⊥SD且AC⊥BD.?

∴AC⊥平面SDB.?

又SB?平面SDB,∴AC⊥SB.?

(2)∵AC⊥平面SDB,AC平面ABC,?

∴平面SDB⊥平面ABC.?

過N作NE⊥BD于E,則NE⊥平面ABC;?

過E作EF⊥CM于F,連結NF,則NF⊥CM.?

∴∠NFE為二面角N-CM-B的平面角.?

∵平面SAC⊥平面ABC,SD⊥AC,∴SD⊥平面ABC.?

又∵NE⊥平面ABC,∴NE∥SD.?

∵SN=NB,∴NE=SD=?

=,且ED=EB.?

在正△ABC中,由平面幾何知識可求得EF=MB=.?

在Rt△NEF中，tan∠NFE=,?

∴二面角N-CM-B的大小是arctan2.?

(3)在Rt△NEF中,NF=,?

∴S_△CMN?=CM·NF=,?

S_△CMB?=BM·CM=2.?

設點B到平面CMN的距離為h,?

∵V_B—CMN?=V_N—CMB?,NE⊥平面CMB,?

∴S_△CMN?·h=S_△CMB?·NE.?

∴h=,?

即點B到平面CMN的距離為.?

方法二：(1)取AC中點O,連結OS、OB.?

∵SA=SC,AB=BC,?

∴AC⊥SO且AC⊥BO.?

∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC,?

∴SO⊥平面ABC.∴SO⊥BO.?

如圖建立空間直角坐標系O—xyz.?

則A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),S(0,0,2),M(1,,0),N(0,,).?

∴=(-4,0,0), =(0,2,-2).?

∵·=(-4,0,0)·(0,2,-2)=0,?

∴AC⊥SB.?

(2)由(1)得=(3, ,0), =(-1,0,),?

設n=(x,y,z)為平面CMN的一個法向量,?

則取z=1,則x=,y=?-.(下略).