Question

已知定義在區間上的函數f（x）=為奇函數且f（）=
（1）求實數m，n的值；
（2）求證：函數f（x）在區間[-1，1]上是增函數．
（3）若?x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤t恒成立，求t的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用函數是奇函數，確定n的值，利用f（）=，可求m的值；
（2）求導函數，利用導數大于等于0，可得函數的單調性；
（3）確定函數的最值，利用f（x）_max-f（x）_min≤t，可求t的最小值．
解答：（1）解：∵函數f（x）=為奇函數，∴對于定義域內的任意實數x，都有f（-x）=-f（x）
即，∴-mx+n=-mx-n，∴n=0
∴f（x）=
∵f（）=
∴=，∴m=1
∴m=1，n=0；
（2）證明：由（1）知，f（x）=，求導函數可得：f′（x）=
∵x∈[-1，1]，∴f′（x）≥0，∴函數f（x）在區間[-1，1]上是增函數；
（3）解：∵函數f（x）在區間[-1，1]上是增函數，
∴f（x）_min=-，f（x）_max=
∵?x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤t恒成立，
∴f（x）_max-f（x）_min≤t
∴t≥1
∴t的最小值為1．
點評：本題考查函數的解析式的求解，考查函數的單調性，考查恒成立問題，解題的關鍵是確定函數的單調性，求出函數的最值，屬于中檔題．