Question

【題目】已知，函數，．

（Ⅰ）求函數在處的切線；

（Ⅱ）若函數在處有最大值，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（I）根據導數的幾何意義求切線斜率，從而寫出切線的方程；（Ⅱ）利用“先必要，后充分”的方法縮小參數范圍，減少分類討論的情形，并通過導數研究函數的單調性，從而判斷并求解函數在給定區間內的最值．

解：（Ⅰ）因為，

則，又有，

故函數在處的切線為．

（Ⅱ）由知函數的圖象過定點，且，又因為函數在處有最大值，則，即．

當時，在上恒成立，在上單調遞增，所以在處有最大值，符合題意；

當時，，令，則，，從而知在上單調遞增，上單調遞減，上單調遞增，故函數在上的最大值為或．

又因為，所以，即，令，則在上單調遞增，且，可得，則．

綜上，實數的取值范圍為