Question

【題目】在圓上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足.，當點在圓上運動時，

（1）求點的軌跡的方程；

（2） 若，直線交曲線于、兩點（點、與點不重合），且滿足.為坐標原點，點滿足，證明直線過定點，并求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) . (2).

【解析】試題分析：

（1）由相關點法得到M(x0,y0),N（x,y），則x=x0,y=（2）聯立直線和橢圓得到二次方程，根據條件結合韋達定理得到，， ，進而求得范圍.

解析：

(1) 設M(x0,y0),N（x,y），則x=x0,y=y0,代入圓方程有.

即為N點的軌跡方程.

(2)當直線垂直于軸時,由消去整理得,

解得或,此時,直線的斜率為；

當直線不垂直于軸時,設,直線:(),

由,消去整理得,

依題意,即(*),

且,,

又,所以

,

所以,即,解得滿足(*),

所以 ,故,

故直線的斜率 ,

當時,,此時；

當時,,此時；

綜上,直線的斜率的取值范圍為.