Question

【題目】已知橢圓 的右頂點，離心率為，為坐標原點.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知（異于點）為橢圓上一個動點，過作線段的垂線交橢圓于點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】

（1）由橢圓右頂點求出，由離心率求出，再由求出，從而求出橢圓方程；（2）先考慮AP斜率不存在，再考慮斜率存在時，設出AP方程，聯立橢圓方程，解出點P坐標，然后求出AP長度，同理求出DE長度，從而求出比值，用換元法結合單調性求出其范圍.

解：（Ⅰ）因為是橢圓的右頂點，所以.

又，所以.

所以.

所以橢圓的方程為

（Ⅱ）當直線的斜率為0時，，為橢圓的短軸，

則，所以.

當直線的斜率不為0時，

設直線的方程為，，

則直線DE的方程為.

由

得.

所以

所以

所以..

同理可求.

所以

設則，.

令，

則.

所以是一個增函數.

所以.

綜上：的取值范圍為.