Question

【題目】在平面直角坐標系中，橢圓： 的離心率為，直線被橢圓截得的線段長為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過原點的直線與橢圓交于， 兩點（， 不是橢圓的頂點），點在橢圓上，且.直線與軸、軸分別交于兩點.設直線的斜率分別為，證明存在常數使得，并求出的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由離心率可得，由對稱性直線被橢圓截得弦長為可求得點坐標為，代入橢圓方程可求得得橢圓標準方程；

（Ⅱ）直線與橢圓相交，設， ，有，由直線垂直得直線的斜率為.為了簡便設直線的方程為，代入橢圓方程消元得的一元二次方程．可得，于是有，而，于是寫出直線方程，求出點坐標，可得，比較可得．

試題解析：

（Ⅰ）∵，∴，，∴.①

設直線與橢圓交于，兩點，不妨設點為第一象限內的交點.∴，

∴代入橢圓方程可得.②

由①②知，，所以橢圓的方程為：.

（Ⅱ）設，則，

直線的斜率為，又，

故直線的斜率為.設直線的方程為，

由題知，聯立，得.

∴，，由題意知，

∴，直線的方程為.

令，得，即，可得，∴，即.

因此存在常數使得結論成立.