Question

已知函數f（x）=，（x≠0）（a≠0）．
（1）試就實數a的不同取值，寫出該函數的單調遞增區間；
（2）已知當a＞0時，函數在（0，）上單調遞減，在上單調遞增，求a的值并寫出函數的解析式；
（3）若函數f（x）在區間內有反函數，試求出實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）①當a＜0時，函數f（x）的單調遞增區間為（-，0）及（0，），
②當0＜a≤1時，函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，0）及（0，+∞），
③當a＞1時，函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，-）及（，+∞）．
（2）由題設及（1）中③知=且a＞1，解得a=3，
因此函數解析式為f（x）=（x≠0）．
（3）1#當a（a-1）＞0即a＜0或a＞1時
由圖象知≥解得a∈（-∞，]∪[，+∞）
2#當a=1時，函數為正比例函數，故在區間內存在反函數，所以a=1成立．
3#當a（a-1）＜0，得到＜，從而得a∈（，）
綜上a∈∈（-∞，]∪（，）∪{1}∪[，+∞）
分析：（1）討論a，分為a＜0，0＜a≤1，a＞1，從而得到函數的單調區間；
（2）根據（1）中a＞1時的單調區間可知=且a＞1，解得a的值；
（3）欲使函數f（x）在區間內有反函數即在該區間上單調，討論a（a-1）的正負可求出所求．
點評：本題主要考查了函數的單調性，以及函數的反函數，同時考查了不等式的解法和計算能力，以及分類討論的數學思想，屬于中檔題．